本读书笔记阅读了相关资料 ,并且使用 Matlab 语言独立实现了其中的实验。
Matlab 语言要求所有函数都定义在代码的最后,但是为了阅读顺畅,本文档修改了部分代码的顺序。如果需要运行代码,请下载源代码文件 。
投影梯度下降
投影梯度下降(PGD)是一种解决带约束非线性优化问题的有力工具。它结合了梯度下降的直观性和投影操作的约束性,通过迭代地沿着负梯度方向更新解,并将更新后的解投影回可行域内,以确保解始终满足约束条件。
在无约束优化问题中,梯度下降法是一种常用的方法。然而,在实际应用中,许多问题都伴随着各种约束,如变量的界限、线性等式或不等式约束等。PGD通过在每一步中将梯度下降的结果投影回可行域,有效地处理这些约束。
PGD适用于目标函数\(f(x)\) 可微且定义在凸集 \(\Omega\) 上的问题。其基本步骤为:
计算当前点的梯度:\(\nabla f(x)\)
沿着负梯度方向更新:\(x_{k+1}’=x_k-\alpha_k\nabla f(x_k)\)
将\(x'\) 投影回可行域:\(x_{k+1}=P_{\Omega}(x'_{k+1})\)
PGD的基本函数形式为:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 function xs = gradient_descent (init, steps, grad, proj) if nargin < 4 proj = @(x) x; end xs = [init]; for step = steps k=proj(xs(:,end ) - step * grad(xs(:,end ))); xs = [xs, k]; end end
热身:优化二次型
对于函数: \[
f(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}\|\boldsymbol{x}\|^2
\] 其梯度为: \[
\nabla f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}
\] 有:
1 2 3 4 5 6 7 function y = quadratic (x) y = 0.5 * (x' * x);end function grad = quadratic_gradient (x) grad = x;end
注意到函数是1-光滑和1-强凸的。这意味着算法可以使用恒定的步长1来保证收敛。
1 2 3 x0 = randn (1000 ,1 ); xs = gradient_descent(x0, [1.0 ], @quadratic_gradient);disp (all(xs(:,end )==0 ));
输出:
如果步长选取得有问题,那么会得到:
1 2 3 4 5 6 7 steps = 0.1 * ones (1 , 50 ); xs = gradient_descent(x0, steps, @quadratic_gradient); ys = arrayfun(@(i ) quadratic(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys, 'log' );
基本二次型
约束优化问题
如果我们把优化问题限制在一个仿射子空间中。注意到,仿射子空间是一个凸集,我们随机选取一个仿射子空间\(U+b\) ,并且定义投影函数:
1 2 3 4 5 6 7 U = randn (1000 , 100 ); [U, R] = qr(U); b = randn (1000 ,1 ); function x_proj = proj1 (x,U,b) x_proj = b + U * (U' * (x-b));end
即: \[
P_{\Omega}(\boldsymbol{x})=UU^T(\boldsymbol{x-b})+\boldsymbol{b}
\] 进行优化仿真:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 x0 = randn (1000 ,1 ); steps = 0.1 * ones (1 , 50 ); xs = gradient_descent(x0, steps, @quadratic_gradient, @(x)proj1(x,U,b)); x_opt = proj1(0 ,U,b); ys = arrayfun(@(i ) quadratic(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys, 'linear' );hold on; quadratic_opt = quadratic(x_opt) .* ones (1 , size (xs,2 ));plot (1 :size (xs,2 ), quadratic_opt, 'r' , 'LineWidth' , 1 ); h = legend ('误差' ,'$$\frac{1}{2}||x_{opt}||^2$$' ); set(h,'Interpreter' ,'latex' );hold off;
仿射空间约束优化
可以看到,算法在30步内就收敛到了很低的水平。我们还可以画一下迭代到的各点同最优解的距离,即\(k-\|x_k-x_{opt}\|^2\) 图像:
1 2 ys = arrayfun(@(i ) norm(xs(:, i )-x_opt)^2 , 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys, 'log' );
我们称之为「领域收敛」。
最小二乘法
线性最小二乘法是数据分析中的重要工具,其目标是找到一个向量\(\boldsymbol{x}\) ,使得\(A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\) 的平方误差之和最小。问题的目标函数为: \[
f(\boldsymbol{x})=\frac 1{2m}\|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\|^2
\] 它的梯度是: \[
\nabla f(\boldsymbol{x})=A^{T}(A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b})
\] 海森矩阵为: \[
\nabla^2f(\boldsymbol{x})=A^TA
\] 这个问题是\(\beta-\) 李普希兹的和\(\alpha-\) 强凸的,其中: \[
\beta=\lambda_\max(A^TA),\alpha=\lambda_{\min}(A^TA)
\] 定义目标函数和梯度:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 function y = least_squares (A, b, x) m=size (A,1 ); y=(0.5 /m)*norm(A*x-b)^2 ;end function grad = least_squares_gradient (A, b, x) m = size (A,1 ); grad = A' * (A*x-b)/m;end
过定问题:\(m>n\)
在这种情况下,最小二乘问题通常是有解的,而且目标函数是强凸的。为了仿真方便,我们先生成最优解,然后再用最优解加一个噪声反向生成问题中的\(b\) 。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 m = 1000 ; n = 100 ; A = randn (m,n); x_opt = randn (n,1 ); noise = randn (m,1 ) * 0.1 ; b = A * x_opt + noise; objective = @(x) least_squares(A, b, x); gradient = @(x) least_squares_gradient(A, b, x);
进行仿真:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 x0 = randn (n,1 ); steps = ones (1 ,100 )*0.1 ; xs = gradient_descent(x0, steps, gradient); ys = arrayfun(@(i ) objective(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys, 'log' );hold on; noise_level = norm(noise)^2 *ones (1 ,100 );plot (1 :length (steps), noise_level,'r' ); optimal_level = objective(x_opt)*ones (1 ,100 );plot (1 :length (steps), optimal_level,'g' );legend ('error' , 'noise level' , 'optimal' );hold off;
结果如下:
最小二乘-过定问题
我们还可以画一下迭代到的各点同最优解的距离,即\(k-\|x_k-x_{opt}\|^2\) 图像:
1 2 3 ys = arrayfun(@(i ) norm(xs(:, i )-x_opt)^2 , 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys, 'log' );
最小二乘-过定问题
欠定问题:\(m<n\)
在欠定时,目标函数可能不是强凸的,因为\(A^TA\) 不是满秩矩阵,而且\(\lambda_\min(A^TA)=0\) 。
运行仿真:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 m = 100 ; n = 1000 ; A = randn (m,n); b = randn (m,1 ); x_opt = pinv(A)*b; objective = @(x) least_squares(A, b, x); gradient = @(x) least_squares_gradient(A, b, x); x0 = randn (n,1 ); steps = ones (1 ,100 ) * 0.1 ; xs = gradient_descent(x0, steps, gradient); ys = arrayfun(@(i ) objective(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys,'log' );hold on; optimal_level=objective(x_opt)*ones (1 ,100 );plot (1 :length (steps),optimal_level,'r' );legend ('error' , 'optimal' );hold off;
最小二乘:欠定问题
可以看到,算法并没有收敛到最优解。我们还可以画一下迭代到的各点同最优解的距离,即\(k-\|x_k-x_{opt}\|^2\) 图像:
1 2 3 4 5 6 7 8 ys = arrayfun(@(i ) norm(xs(:, i )-x_opt)^2 , 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys,'linear' );hold on; optimal_norm=norm(x_opt)^2 *ones (1 ,100 );plot (1 :length (steps),optimal_norm,'r' ); h=legend ('error' ,'$$||x_{opt}||^2$$' ); set(h,'Interpreter' ,'latex' );
最小二乘:欠定问题
\(l_2-\) 正规化
在之前讨论的欠定问题中,可以试图通过添加\(l_2-\) 罚函数来恢复问题的强凸性。
此时的目标函数变为: \[
f(\boldsymbol{x})=\frac 1{2m}\|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\|+\frac \alpha 2\|\boldsymbol{x}\|^2
\] 这样一来,函数就是\(\alpha-\) 强凸的了。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 function obj = least_squares_l2 (A, b, x, alpha) if nargin < 4 alpha = 0.1 ; end obj = least_squares(A, b, x) + (alpha/2 ) * x' * x;end function grad = least_squares_l2_gradient (A, b, x, alpha) if nargin < 4 alpha = 0.1 ; end grad = least_squares_gradient(A, b, x) + alpha * x;end
运行仿真:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 m = 100 ; n = 1000 ; A = randn (m,n); b = A*randn (n,1 ); objective = @(x) least_squares_l2(A, b, x); gradient = @(x) least_squares_l2_gradient(A, b, x); x_opt = inv(A' * A + 0.1 * eye (1000 )) * A' * b; x0 = randn (n,1 ); steps = ones (1 ,500 ) * 0.1 ; xs = gradient_descent(x0, steps, gradient); ys = arrayfun(@(i ) objective(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys,'log' );hold on; optimal_level = objective(x_opt)*ones (1 ,500 );plot (1 :length (steps), optimal_level,'g' );legend ('error' , 'optimal' );hold off;
l2-正规化
由于正规化项的存在,函数并没有收敛到\(0\) ,但是这是正常的,至少它收敛了。事实上,正则化项具有很强的凸性,这将再次导致领域收敛:
1 2 3 4 5 6 7 8 ys = arrayfun(@(i ) norm(xs(:, i )-x_opt)^2 , 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys,'log' );hold on; optimal_norm=norm(x_opt)^2 *ones (1 ,500 );plot (1 :length (steps),optimal_norm,'r' ); h=legend ('error' ,'$$||x_{opt}||^2$$' ); set(h,'Interpreter' ,'latex' );
l2-正规化
隐式正则化的魔力
有时,只需从一个合适的初始点开始梯度下降,本身就会产生正则化效果,而无需引入明确的正则化项。 我们将在下文中看到这一点,我们将重温非正则化最小二乘法目标,但从原点而非随机高斯点开始梯度下降。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x0 = zeros (n,1 ); gradient = @(x) least_squares_gradient(A, b, x); steps = ones (1 ,50 )*0.1 ; xs = gradient_descent(x0,steps,gradient); ys = arrayfun(@(i ) norm(xs(:, i )-x_opt)^2 , 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys,'linear' );hold on; optimal_norm=norm(x_opt)^2 *ones (1 ,50 );plot (1 :length (steps),optimal_norm,'r' ); h=legend ('error' ,'$$||x_{opt}||^2$$' ); set(h,'Interpreter' ,'latex' );
隐式正则化
LASSO
回到之前的欠定问题。LASSO是\(l_1-\) 正则化最小二乘线性回归的名称。其目标函数为: \[
f(\boldsymbol{x})=\frac 1{2m}\|A\boldsymbol{x}-\boldsymbol{b}\|+\alpha \|\boldsymbol{x}\|_1
\]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 function obj = lasso (A, b, x, alpha) if nargin < 4 alpha = 0.1 ; end obj = least_squares(A, b, x) + alpha * norm(x, 1 );end function g = ell1_subgradient (x) g = ones (size (x)); g(x < 0 ) = -1 ;end function subgrad = lasso_subgradient (A, b, x, alpha) if nargin < 4 alpha = 0.1 ; end subgrad = least_squares_gradient(A, b, x) + alpha * ell1_subgradient(x);end
如果存在稀疏解,LASSO能够对其细化,这也是使用LASSO的重要原因之一。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 m = 100 ; n = 1000 ; A = randn (m,n); x_opt=zeros (n,1 ); x_opt(1 :10 )=1 ; b = A * x_opt; objective = @(x) lasso(A, b, x); gradient =@(x) lasso_subgradient(A, b, x); x0 = randn (n, 1 ); steps = 0.1 * ones (1 , 500 ); xs = gradient_descent(x0, steps, gradient); ys = arrayfun(@(i ) objective(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys,'log' );
LASSO
初始点、最佳点和计算点的比较:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 idxs = 1 :100 ; figure ;plot (idxs, x0(idxs), '--' , 'Color' , [0.6667 0.6667 0.6667 ], 'LineWidth' , 1.5 , 'DisplayName' , 'initial' );hold on;plot (idxs, x_opt(idxs), 'r-' , 'LineWidth' , 1.5 , 'DisplayName' , 'optimal' );plot (idxs, xs(end , idxs), 'g-' , 'LineWidth' , 1.5 , 'DisplayName' , 'final' ); xlabel('Coordinate' ); ylabel('Value' );
正如所承诺的那样,LASSO 能正确识别最优解的重要坐标。 因此,在实际应用中,LASSO 是一种常用的特征选择工具
支持向量机
在线性分类问题中,我们给出了 \(m\) 个标记点 \((a_i, y_i)\) ,我们希望找到一个由点 \(x\) 定义的超平面,将它们分开,使得:
当 \(y_i=1\) 时,\(\langle a_i, x\rangle \ge 1\) ;
当 \(y_i = -1\) 时,\(\langle a_i, x\rangle \le -1\) 。
范数 \(|x|\) 越小,正负实例之间的间隔就越大。因此,引入一个惩罚大范数的正则化项是有意义的。这导致了目标函数的产生。 \[
\frac 1m \sum_{i=1}^m \max\{1-y_i(a_i^\top x), 0\} + \frac{\alpha}2\|x\|^2
\]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 function loss = hinge_loss (z) loss = max (1. -z, 0 );end function obj = svm_objective (A, y, x, alpha) if nargin < 4 alpha = 0.1 ; end m = size (A, 1 ); obj = mean (hinge_loss(diag (y) * (A * x))) + (alpha/2 ) * x' * x;end
绘制hinge_loss图像:
1 2 3 4 5 6 z = linspace (-2 , 2 , 100 );figure ('Position' , [100 , 100 , 480 , 400 ]); plot (z, hinge_loss(z), 'LineWidth' , 2 ); xlabel('z' ); ylabel('Hinge Loss' ); title('Hinge Loss Function' );
SVM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 function g = hinge_subgradient (z) g = zeros (size (z)); g(z < 1 ) = -1 ;end function subgrad = svm_subgradient (A, y, x, alpha) if nargin < 4 alpha = 0.1 ; end g1 = hinge_subgradient(diag (y) * (A * x)); g2 = diag (y) * A; subgrad = (g1' * g2)' + alpha * x;end
绘制次梯度:
1 2 3 4 5 6 7 z = linspace (-2 , 2 , 100 );figure ('Position' , [100 , 100 , 480 , 400 ]);plot (z, hinge_subgradient(z), 'LineWidth' , 2 ); xlabel('z' ); ylabel('Hinge Subgradient' ); title('Hinge Subgradient Function' );
进行SVM仿真:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 m = 1000 ; n = 100 ; A = [randn (m/2 , n)*0.1 +randn (m/2 , n); -0.1 *randn (m/2 , n)+randn (m/2 , n)]; y = [ones (m/2 , 1 ); -1 *ones (m/2 , 1 )]; x0 = randn (n, 1 ); objective = @(x) svm_objective(A, y, x, 0.05 ); gradient = @(x) svm_subgradient(A, y, x, 0.05 ); steps = 0.01 * ones (1 , 100 ); xs = gradient_descent(x0, steps, gradient); ys = arrayfun(@(i ) objective(xs(:, i )), 1 :size (xs, 2 )); Error_plot(ys, 'linear' );
让我们看看求解的平均值是否能带来更好的函数值。
1 2 3 4 5 6 7 8 xavg=0 ;for i = 1 :size (xs,2 ) xavg = xavg+xs(:,i );end xavg = xavg / size (xs,2 );disp ("Let's see if averaging out the solutions gives us an improved function value." );disp (objective(xs(:,end )));disp (objective(xavg));
输出:
1 2 3 4 Let's see if averaging out the solutions gives us an improved function value. 1.8370 1.0100
我们还可以看看线性模型预测标签的准确率。 从我们定义数据的方式可以看出,在无限数据(\(m\) 非常大)的情况下,全一向量是准确率最高的分类器。 对于有限数据集,由于随机波动,准确率可能会更高。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 function acc = accuracy (A, y, x) acc = mean (diag (y) * (A * x) > 0 );end figure ('Position' , [100 , 100 , 480 , 400 ]); ylabel('Accuracy' ); xlabel('Step' );hold on; plot (1 :length (xs), arrayfun(@(i ) accuracy(A, y, xs(:,i )), 1 :size (xs,2 )), 'LineWidth' , 2 );plot (1 :length (xs), arrayfun(@(i ) accuracy(A, y, ones (n, 1 )),1 :size (xs,2 )), 'r' , 'LineWidth' , 2 , 'DisplayName' , 'Population optimum' );legend ('Accuracy Curve' , 'Population optimum' );
稀疏反协方差估计
稀疏逆协方差估计是一种统计方法,用于估计变量之间的依赖关系。该方法通过优化一个包含正则化项的目标函数来实现。其优化目标为: \[
\min _{X \in \mathbb{R}^{n \times n}, X \succeq 0}\langle S, X\rangle-\log \operatorname{det}(X)+\alpha\|X\|_1
\] 在这里,我们定义: \[
\langle S, X\rangle=\trace (S^\top X)
\] 和 \[
\|X\|_1=\sum_{ij}|X_{ij}|
\] 在原文中,使用到了python
的autograd
功能。但是Matlab
不带有这个功能,为此,我颇下了一番功夫,最终得到一个解决方案。
这个问题解决起来很棘手,因为函数的参数都是矩阵。如果只用 syms A
指令,生成的只是单个变量。例如:
1 2 >> syms S X >> sparse_inv_cov_syms = trace(S' * X) - log (det(X)) + 0.1 * sum(abs (X),'all' )
输出
1 2 3 sparse_inv_cov_syms = abs (X)/10 - log (X) + X*conj (S)
这显然不是我们要的结果。这时,我们需要生成矩阵符号:
1 2 3 4 >> n=5 >> syms S [n n] >> syms X [n n] >> sparse_inv_cov_syms = trace(S' * X) - log (det(X)) + 0.1 * sum(abs (X),'all' )
输出
1 2 3 sparse_inv_cov_syms = abs (X1_1) /10 + abs (X1_2)/10 + abs (X1_3)/10 + abs (X1_4)/10 + abs (X1_5)/10 + abs (X2_1)/10 + ...
但是此时如果我们直接用MatlabFunction
函数转换,会得到一个以25个变量为参数的函数:
1 >> ans =MatlabFunction(sparse_inv_cov_syms)
输出:
1 2 3 4 5 ans = 包含以下值的 function_handle: @(S1_1,S1_2,S1_3,S1_4,S1_5,S2_1,S2_2,S2_3,S2_4,S2_5,S3_1,S3_2,S3_3,S3_4,S3_5,S4_1,S4_2,S4_3,S4_4,S4_5,S5_1,S5_2,S5_3,S5_4,S5_5,X1_1,X1_2,X1_3,X1_4,X1_5,X2_1,X2_2,X2_3,X2_4,X2_5,X3_1,X3_2,X3_3,X3_4,X3_5,X4_1,X4_2,X4_3,X4_4,X4_5,X5_1,X5_2,X5_3,X5_4,X5_5 )...
这并不是我们需要的形式。在生成函数时,我们使用Vars
字符串,然后把S
和X
用大括号括起来,这样就行了。
1 >> ans =MatlabFunction(sparse_inv_cov_syms,"Vars" ,{S,X})
输出
1 2 3 4 5 ans = 包含以下值的 function_handle: @(in1,in2 )abs(in2(1 ) )./1.0e+1 +abs(in2(6 ) )./1.0e+1 +abs(in2(11 ) )./1.0e+1 +abs(in2(16 ) )./1.0e+1 +abs(in2(21 ) )./1.0e+1 +abs(in2(2 ) )./1.0e+1 +abs(in2(7 ) )./1.0e+1 +abs(in2(12 ) )./1.0e+1 +abs(in2(17 ) )./1.0e+1 +abs(in2(22 ) )./1.0e+1 +abs(in2(3 ) )./1.0e+1 +abs(in2(8 ) )./1.0e+1 +abs(in2(13 ) )./1.0e+1 +abs(in2(18 ) )./1.0e+1 +abs(in2(23 ) )./1.0e+1 +abs(in2(4 ) )./1.0e+1 +abs(in2(9 ) )./1.0e+1 +abs(in2(14 ) )./1.0e+1 +abs(in2(19 ) )./1.0e+1 +abs(in2(24 ) )./1.0e+1 +abs(in2(5 ) )./1.0e+1 +abs(in2(10 ) )./1.0e+1 +abs(in2(15 ) )./1.0e+1 +abs(in2(20 ) )./1.0e+1 +abs(in2(25 ) )./1.0e+1 -log(in2(1 ).*in2(7 ).*in2(13 ).*in2(19 ).*in2(25 )-in2(1 ).*in2(7 ).*in2(13 ).*in2(24 ).*in2(20 )-in2(1 ).*in2(7 ).*in2(18 ).*in2(14 ).*in2(25 )+in2(1 ).*in2(7 ).*in2(18 ).*in2(24 ).*in2(15 )+in2(1 ).*in2(7 ).*in2(23 ).*in2(14 ).*in2(20 )-in2(1 ).*in2(7 ).*in2(23 ).*in2(19 ).*in2(15 )-in2(1 ).*in2(12 ).*in2(8 ).*in2(19 ).*in2(25 )+in2(1 ).*in2(12 ).*in2(8 ).*in2(24 ).*in2(20 )+in2(1 ).*in2(12 ).*in2(18 ).*in2(9 ).*in2(25 )-in2(1 ).*in2(12 ).*in2(18 ).*in2(24 ).*in2(10 )-in2(1 ).*in2(12 ).*in2(23 ).*in2(9 ).*in2(20 )+in2(1 ).*in2(12 ).*in2(23 ).*in2(19 ).*in2(10 )+in2(1 ).*in2(17 ).*in2(8 ).*in2(14 ).*in2(25 )-in2(1 ).*in2(17 ).*in2(8 ).*in2(24 ).*in2(15 )-in2(1 ).*in2(17 ).*in2(13 ).*in2(9 ).*in2(25 )+in2(1 ).*in2(17 ).*in2(13 ).*in2(24 ).*in2(10 )+in2(1 ).*in2(17 ).*in2(23 ).*in2(9 ).*in2(15 )-in2(1 ).*in2(17 ).*in2(23 ).*in2(14 ).*in2(10 )-in2(1 ).*in2(22 ).*in2(8 ).*in2(14 ).*in2(20 )+in2(1 ).*in2(22 ).*in2(8 ).*in2(19 ).*in2(15 )+in2(1 ).*in2(22 ).*in2(13 ).*in2(9 ).*in2(20 )-in2(1 ).*in2(22 ).*in2(13 ).*in2(19 ).*in2(10 )-in2(1 ).*in2(22 ).*in2(18 ).*in2(9 ).*in2(15 )+in2(1 ).*in2(22 ).*in2(18 ).*in2(14 ).*in2(10 )-in2(6 ).*in2(2 ).*in2(13 ).*in2(19 ).*in2(25 )+in2(6 ).*in2(2 ).*in2(13 ).*in2(24 ).*in2(20 )+in2(6 ).*in2(2 ).*in2(18 ).*in2(14 ).*in2(25 )-in2(6 ).*in2(2 ).*in2(18 ).*in2(24 ).*in2(15 )-in2(6 ).*in2(2 ).*in2(23 ).*in2(14 ).*in2(20 )+in2(6 ).*in2(2 ).*in2(23 ).*in2(19 ).*in2(15 )+in2(6 ).*in2(12 ).*in2(3 ).*in2(19 ).*in2(25 )-in2(6 ).*in2(12 ).*in2(3 ).*in2(24 ).*in2(20 )-in2(6 ).*in2(12 ).*in2(18 ).*in2(4 ).*in2(25 )+in2(6 ).*in2(12 ).*in2(18 ).*in2(24 ).*in2(5 )+in2(6 ).*in2(12 ).*in2(23 ).*in2(4 ).*in2(20 )-in2(6 ).*in2(12 ).*in2(23 ).*in2(19 ).*in2(5 )-in2(6 ).*in2(17 ).*in2(3 ).*in2(14 ).*in2(25 )+in2(6 ).*in2(17 ).*in2(3 ).*in2(24 ).*in2(15 )+in2(6 ).*in2(17 ).*in2(13 ).*in2(4 ).*in2(25 )-in2(6 ).*in2(17 ).*in2(13 ).*in2(24 ).*in2(5 )-in2(6 ).*in2(17 ).*in2(23 ).*in2(4 ).*in2(15 )+in2(6 ).*in2(17 ).*in2(23 ).*in2(14 ).*in2(5 )+in2(6 ).*in2(22 ).*in2(3 ).*in2(14 ).*in2(20 )-in2(6 ).*in2(22 ).*in2(3 ).*in2(19 ).*in2(15 )-in2(6 ).*in2(22 ).*in2(13 ).*in2(4 ).*in2(20 )+in2(6 ).*in2(22 ).*in2(13 ).*in2(19 ).*in2(5 )+in2(6 ).*in2(22 ).*in2(18 ).*in2(4 ).*in2(15 )-in2(6 ).*in2(22 ).*in2(18 ).*in2(14 ).*in2(5 )+in2(11 ).*in2(2 ).*in2(8 ).*in2(19 ).*in2(25 )-in2(11 ).*in2(2 ).*in2(8 ).*in2(24 ).*in2(20 )-in2(11 ).*in2(2 ).*in2(18 ).*in2(9 ).*in2(25 )+in2(11 ).*in2(2 ).*in2(18 ).*in2(24 ).*in2(10 )+in2(11 ).*in2(2 ).*in2(23 ).*in2(9 ).*in2(20 )-in2(11 ).*in2(2 ).*in2(23 ).*in2(19 ).*in2(10 )-in2(11 ).*in2(7 ).*in2(3 ).*in2(19 ).*in2(25 )+in2(11 ).*in2(7 ).*in2(3 ).*in2(24 ).*in2(20 )+in2(11 ).*in2(7 ).*in2(18 ).*in2(4 ).*in2(25 )-in2(11 ).*in2(7 ).*in2(18 ).*in2(24 ).*in2(5 )-in2(11 ).*in2(7 ).*in2(23 ).*in2(4 ).*in2(20 )+in2(11 ).*in2(7 ).*in2(23 ).*in2(19 ).*in2(5 )+in2(11 ).*in2(17 ).*in2(3 ).*in2(9 ).*in2(25 )-in2(11 ).*in2(17 ).*in2(3 ).*in2(24 ).*in2(10 )-in2(11 ).*in2(17 ).*in2(8 ).*in2(4 ).*in2(25 )+in2(11 ).*in2(17 ).*in2(8 ).*in2(24 ).*in2(5 )+in2(11 ).*in2(17 ).*in2(23 ).*in2(4 ).*in2(10 )-in2(11 ).*in2(17 ).*in2(23 ).*in2(9 ).*in2(5 )-in2(11 ).*in2(22 ).*in2(3 ).*in2(9 ).*in2(20 )+in2(11 ).*in2(22 ).*in2(3 ).*in2(19 ).*in2(10 )+in2(11 ).*in2(22 ).*in2(8 ).*in2(4 ).*in2(20 )-in2(11 ).*in2(22 ).*in2(8 ).*in2(19 ).*in2(5 )-in2(11 ).*in2(22 ).*in2(18 ).*in2(4 ).*in2(10 )+in2(11 ).*in2(22 ).*in2(18 ).*in2(9 ).*in2(5 )-in2(16 ).*in2(2 ).*in2(8 ).*in2(14 ).*in2(25 )+in2(16 ).*in2(2 ).*in2(8 ).*in2(24 ).*in2(15 )+in2(16 ).*in2(2 ).*in2(13 ).*in2(9 ).*in2(25 )-in2(16 ).*in2(2 ).*in2(13 ).*in2(24 ).*in2(10 )-in2(16 ).*in2(2 ).*in2(23 ).*in2(9 ).*in2(15 )+in2(16 ).*in2(2 ).*in2(23 ).*in2(14 ).*in2(10 )+in2(16 ).*in2(7 ).*in2(3 ).*in2(14 ).*in2(25 )-in2(16 ).*in2(7 ).*in2(3 ).*in2(24 ).*in2(15 )-in2(16 ).*in2(7 ).*in2(13 ).*in2(4 ).*in2(25 )+in2(16 ).*in2(7 ).*in2(13 ).*in2(24 ).*in2(5 )+in2(16 ).*in2(7 ).*in2(23 ).*in2(4 ).*in2(15 )-in2(16 ).*in2(7 ).*in2(23 ).*in2(14 ).*in2(5 )-in2(16 ).*in2(12 ).*in2(3 ).*in2(9 ).*in2(25 )+in2(16 ).*in2(12 ).*in2(3 ).*in2(24 ).*in2(10 )+in2(16 ).*in2(12 ).*in2(8 ).*in2(4 ).*in2(25 )-in2(16 ).*in2(12 ).*in2(8 ).*in2(24 ).*in2(5 )-in2(16 ).*in2(12 ).*in2(23 ).*in2(4 ).*in2(10 )+in2(16 ).*in2(12 ).*in2(23 ).*in2(9 ).*in2(5 )+in2(16 ).*in2(22 ).*in2(3 ).*in2(9 ).*in2(15 )-in2(16 ).*in2(22 ).*in2(3 ).*in2(14 ).*in2(10 )-in2(16 ).*in2(22 ).*in2(8 ).*in2(4 ).*in2(15 )+in2(16 ).*in2(22 ).*in2(8 ).*in2(14 ).*in2(5 )+in2(16 ).*in2(22 ).*in2(13 ).*in2(4 ).*in2(10 )-in2(16 ).*in2(22 ).*in2(13 ).*in2(9 ).*in2(5 )+in2(21 ).*in2(2 ).*in2(8 ).*in2(14 ).*in2(20 )-in2(21 ).*in2(2 ).*in2(8 ).*in2(19 ).*in2(15 )-in2(21 ).*in2(2 ).*in2(13 ).*in2(9 ).*in2(20 )+in2(21 ).*in2(2 ).*in2(13 ).*in2(19 ).*in2(10 )+in2(21 ).*in2(2 ).*in2(18 ).*in2(9 ).*in2(15 )-in2(21 ).*in2(2 ).*in2(18 ).*in2(14 ).*in2(10 )-in2(21 ).*in2(7 ).*in2(3 ).*in2(14 ).*in2(20 )+in2(21 ).*in2(7 ).*in2(3 ).*in2(19 ).*in2(15 )+in2(21 ).*in2(7 ).*in2(13 ).*in2(4 ).*in2(20 )-in2(21 ).*in2(7 ).*in2(13 ).*in2(19 ).*in2(5 )-in2(21 ).*in2(7 ).*in2(18 ).*in2(4 ).*in2(15 )+in2(21 ).*in2(7 ).*in2(18 ).*in2(14 ).*in2(5 )+in2(21 ).*in2(12 ).*in2(3 ).*in2(9 ).*in2(20 )-in2(21 ).*in2(12 ).*in2(3 ).*in2(19 ).*in2(10 )-in2(21 ).*in2(12 ).*in2(8 ).*in2(4 ).*in2(20 )+in2(21 ).*in2(12 ).*in2(8 ).*in2(19 ).*in2(5 )+in2(21 ).*in2(12 ).*in2(18 ).*in2(4 ).*in2(10 )-in2(21 ).*in2(12 ).*in2(18 ).*in2(9 ).*in2(5 )-in2(21 ).*in2(17 ).*in2(3 ).*in2(9 ).*in2(15 )+in2(21 ).*in2(17 ).*in2(3 ).*in2(14 ).*in2(10 )+in2(21 ).*in2(17 ).*in2(8 ).*in2(4 ).*in2(15 )-in2(21 ).*in2(17 ).*in2(8 ).*in2(14 ).*in2(5 )-in2(21 ).*in2(17 ).*in2(13 ).*in2(4 ).*in2(10 )+in2(21 ).*in2(17 ).*in2(13 ).*in2(9 ).*in2(5 ) )+in2(1 ).*conj(in1(1 ) )+in2(6 ).*conj(in1(6 ) )+in2(11 ).*conj(in1(11 ) )+in2(16 ).*conj(in1(16 ) )+in2(21 ).*conj(in1(21 ) )+in2(2 ).*conj(in1(2 ) )+in2(7 ).*conj(in1(7 ) )+in2(12 ).*conj(in1(12 ) )+in2(17 ).*conj(in1(17 ) )+in2(22 ).*conj(in1(22 ) )+in2(3 ).*conj(in1(3 ) )+in2(8 ).*conj(in1(8 ) )+in2(13 ).*conj(in1(13 ) )+in2(18 ).*conj(in1(18 ) )+in2(23 ).*conj(in1(23 ) )+in2(4 ).*conj(in1(4 ) )+in2(9 ).*conj(in1(9 ) )+in2(14 ).*conj(in1(14 ) )+in2(19 ).*conj(in1(19 ) )+in2(24 ).*conj(in1(24 ) )+in2(5 ).*conj(in1(5 ) )+in2(10 ).*conj(in1(10 ) )+in2(15 ).*conj(in1(15 ) )+in2(20 ).*conj(in1(20 ) )+in2(25 ).*conj(in1(25 ) )
此时如果想用gradient
函数求微分,又会报错:
1 >> g = gradient(sparse_inv_cov_syms,Xsyms)
输出:
1 2 错误使用 sym/gradient (line 39 ) Second argument must be a vector of variables.
既然他说 must be a vector,那就把它向量化:
1 2 >> Xvec=X(:) >> g = gradient(sparse_inv_cov_syms,Xvec)
输出:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 g = conj (Ssyms1_1) + sign (Xsyms1_1)/10 - (Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_5 + Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_3 + Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_4 - Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_3 - Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_5 - Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_2 - Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_4 + Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_2 + Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_5 - Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_3 - Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_5 + Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_2 + Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_3 - Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_4 + Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_3 + Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_4 - Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_2 - Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_3 + Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_2)/(Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_5 + Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_3 + Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_4 - Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_5 - Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_2 - Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_2 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_5 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_5 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_2 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_3 + Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_4 - Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_2 - Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_3 + Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_5 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_3 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_5 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_1 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_1 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_5 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_5 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_1 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_1 + Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_3 - Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_1 + Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_3 - Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_5 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_2 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_4 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_5 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_1 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_5 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_5 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_1 - Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_2 + Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_4 - 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Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_2 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_2 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_1 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_4 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_1 - Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_3 + Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_2 + Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_3 - Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_1 - Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_2 + Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_1)/(Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_5 + Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_3 + Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_4 - Xsyms1_1*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_5 - Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_2 - Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_2 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_5 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_5 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_2 + Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_3 - Xsyms1_1*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_4 + Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_3 + Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_4 - Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_2 - Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_3 + Xsyms1_1*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_5 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_3 - Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_5 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_1 + Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_1 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_5 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_5 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_1 - Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_3 + Xsyms1_2*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_1 + Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_4 - Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_3 - Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_4 + Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_1 + Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_3 - Xsyms1_2*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_5 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_4 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_5 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_2 + Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_4 - Xsyms1_3*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_5 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_5 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_5*Xsyms5_1 - Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_4*Xsyms5_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_5 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_5 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_1 + Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_2 - Xsyms1_3*Xsyms2_4*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_1 - Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_4 + Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_2 + Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_4 - Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_1 - Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_2 + Xsyms1_3*Xsyms2_5*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_1 - Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_5 + Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_3 + Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_5 - Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_2 - Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_3 + Xsyms1_4*Xsyms2_1*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_2 + Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_5 - Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_3 - Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_5 + Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_5*Xsyms5_1 + Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_3 - Xsyms1_4*Xsyms2_2*Xsyms3_5*Xsyms4_3*Xsyms5_1 - Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_5 + Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_5*Xsyms5_2 + Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_5 - Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_5*Xsyms5_1 - Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_1*Xsyms5_2 + Xsyms1_4*Xsyms2_3*Xsyms3_5*Xsyms4_2*Xsyms5_1 + Xsyms1_4*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_3 - Xsyms1_4*Xsyms2_5*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms1_4*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_3 + Xsyms1_4*Xsyms2_5*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_1 + Xsyms1_4*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_2 - Xsyms1_4*Xsyms2_5*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_1 + Xsyms1_5*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_4 - Xsyms1_5*Xsyms2_1*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_3 - Xsyms1_5*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_4 + Xsyms1_5*Xsyms2_1*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_2 + Xsyms1_5*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_3 - Xsyms1_5*Xsyms2_1*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_2 - Xsyms1_5*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_4 + Xsyms1_5*Xsyms2_2*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_3 + Xsyms1_5*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_4 - Xsyms1_5*Xsyms2_2*Xsyms3_3*Xsyms4_4*Xsyms5_1 - Xsyms1_5*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_3 + Xsyms1_5*Xsyms2_2*Xsyms3_4*Xsyms4_3*Xsyms5_1 + Xsyms1_5*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_4 - Xsyms1_5*Xsyms2_3*Xsyms3_1*Xsyms4_4*Xsyms5_2 - Xsyms1_5*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_4 + Xsyms1_5*Xsyms2_3*Xsyms3_2*Xsyms4_4*Xsyms5_1 + Xsyms1_5*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_1*Xsyms5_2 - Xsyms1_5*Xsyms2_3*Xsyms3_4*Xsyms4_2*Xsyms5_1 - Xsyms1_5*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_2*Xsyms5_3 + Xsyms1_5*Xsyms2_4*Xsyms3_1*Xsyms4_3*Xsyms5_2 + Xsyms1_5*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_1*Xsyms5_3 - Xsyms1_5*Xsyms2_4*Xsyms3_2*Xsyms4_3*Xsyms5_1 - Xsyms1_5*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_1*Xsyms5_2 + Xsyms1_5*Xsyms2_4*Xsyms3_3*Xsyms4_2*Xsyms5_1)
成功了。
所以我先用Matlab的符号运算生成了矩阵符号,书写函数以后,将被求导的矩阵转换成向量,用gradient
函数进行符号求导,然后再进行一次矩阵向量化的包装,这样一来,基本可以实现autograd
自动求导的效果。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 n = 5 ; A = randn (n,n); S = A*A'; syms Ssyms 5 ; syms Xsyms 5 ; sparse_inv_cov_syms = trace(Ssyms' * Xsyms) - log (det(Xsyms)) + 0.1 * sum(abs (Xsyms),'all' ); X_vec=Xsyms(:); sparse_inv_cov_grad_syms = gradient(sparse_inv_cov_syms,X_vec); objective=MatlabFunction(sparse_inv_cov_syms,"Vars" ,{Ssyms,Xsyms}); grad=MatlabFunction(sparse_inv_cov_grad_syms,"Vars" ,{Ssyms,X_vec}); gradien=@(X) grad(S,X(:));
定义投影函数:
1 2 3 4 5 6 function X_proj = projection (X) [U,es] = eig(X); es(es < 0 ) = 0 ; X_proj = U * es * U';end
因为这里的优化目标\(X\) 也是矩阵,所以梯度下降函数的写法也做了相应修改:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 function xs = gradient_descent_xx (n,init, steps, grad, proj) if nargin < 5 proj = @(x) x; end xs = [init]; for step = steps startCol = (size (xs, 2 ) - n) + 1 ; endCol = size (xs ,2 ); lastSubMatrix = xs(:, startCol:endCol) G=grad(lastSubMatrix);; G=reshape (G,size (lastSubMatrix)); temp=lastSubMatrix - step * G; k=proj(temp); xs = [xs, k]; end end
运行仿真:
1 2 3 4 5 6 7 8 A0 = randn (n,n); X0 = A0*A0'; steps=ones (1 ,500 )*0.01 ; Xs = gradient_descent_xx(n,X0,steps,gradien,@projection); ys = arrayfun(@(i ) objective(S,Xs(:,(i -1 )*n+1 :i *n)), 1 :500 ); Error_plot(ys,'log' );
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