通信原理· 调制之章
模拟调制
调制是对信源（编码）产生的信号进行符号映射、频谱搬移、滤波等处理，以适配信道传输的过程。其意义在于便于设计小型发射机和提高无线资源的利用率。调制的基本框图如下：
其中\(m(t)\)是要传输的信号，叫做调制信号或基带信号，\(c(t)\)是载波信号，\(s(t)\)是已调信号。其基本方程为： \[ c(t)=A\cos(\omega_c t+\theta_c) \] 如果基带信号\(m(t)\)加在幅度\(A\)上，叫做调幅；如果基带信号\(m(t)\)加在频率\(\omega_c\)上，叫做调频；如果基带信号\(m(t)\)加在相位\(\theta_c\)，叫做调相。
当\(s(t)\)和\(m(t)\)有线性关系时，叫做线性调制，例如调幅；当是非线性关系时，叫做非线性调制，例如调频或者调相。
带通信号
在分析模拟调制之前，我们首先来分析一下带通信号。带通信号也叫窄带信号，是指频谱集中在某个载频\(f_c\)附近的信号。本章提到的带通信号如无特别说明，一般指实信号，其频谱满足共轭对称性：\(X(f)=X^*(-f)\)。
定义带通信号\(s(t)\)的“解析信号”\(z(t)\)为： \[ z(t)=s(t)+j\hat s(t) \] 其中\(\hat s(t)\)是\(s(t)\)的希尔伯特变换，具体来说： \[ \hat s(t)=s(t)\bigotimes \frac {1}{\pi t}=\frac 1\pi \int_{-\infty}^\infty x(\tau)\frac {1}{t-\tau}\mathbf d t \] 希尔伯特变换是一个\(90\degree\)移相器，它把输入的实信号中的每一个频率分量按照各自的周期延迟\(1/4\)周期。信号经过希尔伯特变换后功率谱密度不变，功率不变，自相关函数不变。其传递函数如下：
那么考察\(z(t)\)和\(s(t)\)的频域，我们可以发现： \[ Z(f)= \begin{cases}2 S(f), & f>0 \\ 0, & f<0\end{cases} \] 即其频谱为\(s(t)\)的正频率的部分乘以二：
设 \(f_{\mathrm{c}}>0\) 是任意一个落在实带通信号 \(s(t)\) 频带内或者附近的频率值 ， 假设 \(s(t)\) 的最高频率不超过 \(2 f_{\mathrm{c}}\), 也就是说, \(s(t)\) 的傅里叶变换 \(S(f)\) 在 \(f<-2 f_{\mathrm{c}}\) 以及 \(f>2 f_c\) 处为零。令 \(\phi\) 是任意固定的相位, 则 \(s(t)\) 的复包络定义为： \[ s_{\mathrm{L}}(t)=[s(t)+\mathrm{j} \hat{s}(t)] \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(2 \pi f_{\mathrm{c}} t+\phi\right)} \] 称上面式子的指数项为“参考复载波”。复包络和解析信号都是复信号。其功率谱和原信号的关系为： \[ P_{s_{\mathrm{L}}}(f)=P_z\left(f+f_{\mathrm{c}}\right)= \begin{cases}4 P_s\left(f+f_{\mathrm{c}}\right), & |f| \leqslant f_{\mathrm{c}} \\ 0, & |f|>f_{\mathrm{c}}\end{cases} \] 定义\(s_{I}(t)=Re\{s_L(t)\},s_Q(t)=Im\{s_L(t)\}\)，则\(s(t)\)可以表示为： \[ s(t)=s_I(t) \cos \left(2 \pi f_{\mathrm{c}} t+\phi\right)-s_Q(t) \sin \left(2 \pi f_{\mathrm{c}} t+\phi\right) \] 如果把复数\(s_L\)以极坐标方式表示： \[ \begin{gathered} A(t)=\left|s_{\mathrm{L}}(t)\right|=\sqrt{s_1^2(t)+s_Q^2(t)} \\ \varphi(t)=\angle s_{\mathrm{L}}(t)=\arctan \frac{s_{\mathrm{Q}}(t)}{s_1(t)} \end{gathered} \] 可以得到带通信号的三种表示方法： \[ \begin{aligned} s(t) & =\operatorname{Re}\left\{s_{\mathrm{L}}(t) \mathrm{e}^{j\left(2 \pi j_e t+\phi\right)}\right\} \\ & =A(t) \cos \left[2 \pi f_{\mathrm{c}} t+\phi+\varphi(t)\right] \\ & =s_1(t) \cos \left(2 \pi f_{\mathrm{c}} t+\phi\right)-s_0(t) \sin \left(2 \pi f_{\mathrm{c}} t+\phi\right) \end{aligned} \] 给定参考载波 \(\cos \left(2 \pi f_c t+\phi\right)\) 时, 从带通信号 \(s(t)\) 能唯一确定复包络 \(s_{\mathrm{L}}(t)\), 从复包络 \(s_{\mathrm{L}}(t)\) 也 能唯一确定带通信号 \(s(t)\) 。带通信号由复包络和参考载波共同决定, 参考载波决定带通信号的 频谱位置, 带通信号的其余信息都包含在复包络中。复包络是一个基带信号, 便于进行数学分析以及计算机仿真。
模拟线性调制
常规双边带调幅AM
AM的基本公式为： \[
c(t)=[A_0+m(t)]\cos \omega_c t
\] 
其中\(m(t)\)的范围是\([-A_m,A_m]\)，那么调幅系数定义为： \[ \beta=\frac {A_m} {A_0} \] 其频谱为： \[ S_{AM}(f)=\frac 12\left(M(f+f_c)+M(f-f_c)\right) \] AM信号的频谱和基带信号\(A_0+m(t)\)的频谱的关系如下图所示：
可见：AM信号的频谱由载频分量和上下两个边带组成。上边带的频谱结构和原调制信号相同，下边带是上边带的镜像。如果说基带信号的带宽为\(B_b=f_H\)，那么AM信号的带宽为\(2f_H=2B_b\).
AM信号的解调方法有两种，即包络检波法和相干解调法。相干解调法的框图如下：
其频谱变化过程示意图如下：
AM调制的功率利用率比较低，而且占用频带较宽。为了解决这个问题，可以采用抑制载波双边带调制（DSB）
双边带调制DSB
抑制载波双边带调制（DSB-SC）简称双边带调制（DSB）。其基本公式为： \[ s_{DSB}(t)=m(t)\cos \omega_c t \] DSB信号的包络不再与调制信号的变化规律一致，因此包络检波法不再可用，只能使用相干解调法。相干解调法和AM基本相同，只是不需要隔直。有： \[ m(t)\cos \omega_c t\cdot\cos \omega_c t=\frac 12m(t)(1+\cos 2\omega_c t) \] 因此通过低通滤波器后，有： \[ m_o(t)=\frac 12 m(t) \] 虽然DSB节省了载波频率，提高了功率利用率，但是频带宽度仍然是调制信号带宽的2倍，与AM的相同。
单边带调制SSB
单边带调制就是将DSB信号的频谱上只保留一个边带：
保留红色的叫上边带（USB），保留蓝色的叫下边带（LSB）。
单边带调制信号可以用DSB信号通过一个低通（高通）滤波器来生成，也可以通过移相法实现： \[ s_{LSB}(t)=\frac 12\left(m(t)\cos \omega_c t+\hat m(t)\sin \omega_c(t)\right) \] 其中\(\hat m(t)\)是\(m(t)\)的希尔伯特变换。证明可以直接对比左右两式的频域表达式。
SSB信号的解调，可以采用相干解调，如果一定要采取包络检波，则要插入强载波。
残留边带调制VSB
SSB调制对滤波器的要求有点过高了。在残留边带调制中，除了传送一个边带外，还保留了另外一个边带的一部分。对于具有低频及直流分量的调制信号，用滤波法实现单边带调制时所需要的过渡带无限陡的理想滤波器，在残留边带调制中已不再需要。
其对滤波器传递函数的要求为： \[ H(f+f_c)+H(f-f_c)=C \] 即\(H(f)\)在\(f_c\)两侧互补对称。
非线性调制（角度调制）
相位调制PM
使相位随调制信号线性变化，即： \[ s_{PM}(t)=A\cos \left[\omega_ct+\varphi_0+K_{PM}m(t)\right] \] 其中的\(K_{PM}\)叫做调相灵敏度，瞬时相位为： \[ \varphi_0+K_{PM}m(t) \] 瞬时相位偏移为 \[ K_{PM}m(t) \] 其最大值定义为调相指数： \[ M_p=K_{PM}A_m \]
频率调制FM
使瞬时频率随着调制信号线性变化，叫做频率调制。即： \[ \omega(t)=\omega_c +K_{FM}m(t) \] 更进一步，调频的实质其实是让角度的导数和调制信号成正比，即瞬时频率偏移是调制信号的线性函数： \[ \frac d{dt}\varphi(t)=2\pi K_{FM}m(t) \] 因此，调频的表达式为： \[ s_{FM}(t)=A\cos \left[\omega_ct+\varphi_0+K_{FM}\int _{-\infty}^tm(\tau)d\tau\right] \] 其中\(m(t)\)的范围是\([-A_m,A_m]\).
瞬时频率偏离\(f_c\)的最大值叫做最大频偏，即： \[ \Delta f=\frac 1{2\pi}\left| \frac d{dt}\varphi(t)\right|_{max}=K_{FM}A_m \] 最大频偏按消息信号的带宽\(W\)归一化的值代表调频波的最大相对偏移，叫做调频指数： \[ M_f=\beta_{FM}=\frac{K_{FM}A_m}{W} \] \(M_f\)和\(\beta_{FM}\)都是调频指数，是同一个事物的两个名字，我也不知道为什么会这样。
对于单频调制而言，假设调制信号为余弦波 \[ m(t)=A_m\cos \omega_m t \] 调相，有： \[ s_{PM}(t)=A\cos(\omega_ct+K_{PM}A_m\cos \omega_mt) \] 其中调相指数\(M_p=K_{PM}A_m\)，就是相位部分的振幅值，代表最大相位偏移。
调频，有： \[ \begin{aligned} s_{F M}(t) & =A \cos \left(\omega_c t+K_{F M} \int_{-\infty}^t A_m \cos \omega_m \tau d \tau\right) \\ & =A \cos \left(\omega_c t+\frac{K_{F M} A_m}{\omega_m} \sin \omega_m t\right) \\ & =A \cos \left(\omega_c t+M_f \sin \omega_m t\right) \end{aligned} \] 其中 \[ M_f=\frac{K_{FM}A_m}{\omega_m} \] 为调频知数，代表调频波的最大相对偏移。调频波的最大频率偏移为： \[ \Delta \omega_m=K_{FM}A_m=M_f\omega_m \] 可以看出，最大频偏就是把表达式相位部分的幅值和角频率乘起来。
所以也可以说： \[ M_f=\frac{\Delta \omega_{m}}{\omega_m} \] 即调频最大频偏/调制信号频率。请注意，上面这部分的频率都是角频率，也即\(\omega\)，如果要算\(f\)，需要除以\(2\pi\)
当\(A_m\)不变，调制信号频率\(\omega_m\)增大时：
- FM中的\(\Delta f\)不变，\(M_f\)成反比例地减小
- PM中的\(\Delta f\)成正比例增大，\(M_p\)不变
【例】用基带信号对载波进行调频得到 \[ s(t)=10\cos(2\pi f_ct+5\cos 200\pi t) \]
- 求最大频偏、调频指数、带宽
- 固定\(K_{FM},f_m\)，把\(A_m\)提高一倍，求（1）
- 固定\(K_{FM},A_m\)，把\(f_m\)提高一倍，求（1）
【解】
最大频偏(相位部分表达式幅度乘以频率) \[ \Delta f_m=5\times 200\pi/2\pi=500 \] 调频指数(相位部分表达式的幅度) \[ M_f=\frac{\Delta f_m}{f_m}=5 \] 带宽 \[ B=2(\Delta f_m+f_m)=1200 \]
调频指数 \[ M_f=\frac{K_{FM}A_m}{\omega_m}=10 \] 最大频偏 \[ \Delta f_m=1000 \] 带宽 \[ B=2(\Delta f_m+f_m)=2200 \]
仍旧从调频指数定义式出发，有：\(\Delta f_m=500,M_f=2.5,B=1400\)
如果将调制信号先积分，而后进行调相，则得到的是调频波，这种方式叫间接调频。也就是说，PM和FM的区别其实就是更换了调制信号。下面，主要对FM进行讨论。
经过分析，可以知道已调信号的带宽实际上是无穷，但是其能量主要集中在\(f_c\)附近的一个范围内。其频带宽度可以大致用卡森公式估计： \[ B_{FM}=2(1+M_f)f_m=2(\Delta f+f_m) \]
【例】2MHz载波受10KHz单频正弦调频，峰值频偏为10KHz，求：
- 调频信号带宽
- 调制信号幅度加倍时，调频信号的带宽
- 调制信号频率加倍时，调频信号的带宽
- 如果峰值频偏减为1KHz，分别计算123
【解】由卡森公式：\(B_{FM}=2(1+M_f)f_m=2(\Delta f+f_m)\)，调频指数：\(M_f=AK_{fm}/\omega_m=\Delta f_{\max}/f_m\)
- \(M_f=\Delta f_{\max}/f_m=10k/10k=1\)，则\(B_{fm}=2\times (1+1)\times 10=40\text {kHz}\)
- 幅度加倍，则最大频偏加倍，则\(M_f\)加倍，\(B_{fm}=2\times (2+1)\times 10=60\text{kHz}\)
- 频率加倍，则\(B_{fm}=2(20+10)=60\text{kHz}\)
- 则\(\Delta f_m=1kHz\)，对（1）有：\(B_{fm}=2\times (0.1+1)\times 10=22\text{kHz}\)，其余略
要进行调频，有直接法和倍频法。直接法又叫VCO调频，就是用调制信号直接控制压控振荡器的频率，使其按调制信号的规律线性变化。其缺点是载频\(f_c\)可能会产生漂移。
倍频法是先对调制信号积分后再进行相位调制，从而产生窄带调频信号，然后利用倍频器把它变成宽带调频信号。
模拟调制的噪声分析
在分析噪声时，认为噪声是加性[1]各态历经[2]平稳[3]高斯[4]白[5]噪声。
| 调制方式 | 通带 | \(S_i/N_i\) | \(S_o/N_o\) | \(G_m\) | 复杂度 |
|---|---|---|---|---|---|
| DSB | \(2f_m\) | \(\frac{P_m/2}{2f_mn_0}\) | \(\frac{P_m}{2f_mn_0}\) | 2 | 中 |
| SSB | \(f_m\) | \(\frac{P_m/4}{f_mn_0}\) | \(\frac{P_m}{4f_mn_0}\) | 1 | 难 |
| VSB | 略大于\(f_m\) | 同上 | 同上 | 同上 | 难 |
| AM | \(2f_m\) | \(\frac{(A^2+P_m)/2}{2f_mn_0}\) | \(P_m/2f_mn_0\) | \(2\eta_{AM}\) | 易 |
| FM | \(2(M_f+1)f_m\) | \(\frac{A^2}{2B_{FM}n_0}\) | \(3M_f^2\frac{P_mA^2/2}{A_m^2n_0f_m}\) | \(6\beta^2(1+\beta)\frac{P_m}{A_m^2}\) | 中 |
【例（2022期末）】已知信号\(m(t)\)是带宽为20kHz的低频信号，分别经过以下两种方式调制以后得到调制信号，调制信号经过信道传输，解调后输出。如果要求输出信号的信噪比为40dB，设信道传输损耗为50dB，信道引入的加性高斯白噪声双边功率谱密度\(n_0/2=10^-12 W/Hz\)，求以下两种情况的最小发射功率。
- DSB-SC
- AM，\(\eta=0.2\)
【解】
由题知，\(SNR_o=10^4,SNR_i=SNR_o/ G=2\times 10^3\)
先假设信道没有衰减，那么有 \[ P_s=SNR_i\cdot 2n_0f_m=2\cdot10^3\times 2\cdot 10^{-12}\times20k=4\times10^{-4}W \] 加上信道衰减，发射功率为\(P_s\times 10^5=40W\)
由题知，\(SNR_o=10^4,SNR_i=SNR_o/G=SNR_o/(2\eta)=2.5\cdot 10^{4}\)
假设没有衰减，那么有 \[ P_s=SNR_i\cdot2n_0f_m=2\cdot 10^{-3}W \] 加上信道衰减，发射功率为\(P_s\times 10^5=200W\)
在上面这个例子中，有些同学可能会有一个疑问，那就是dB不是\(20\lg(\cdot)\)吗？为什么40dB是\(10^4\)呢？实际上，因为这里是基于功率定义的dB。由于功率跟幅度的平方成正比，所以在基于幅度定义的dB的对数运算后前面又乘以2，变成了“20lg”。
【例（2022期末）】对某一信号进行FM调制传输，设加到接收机的调制信号功率谱密度是 \[ P_m(f)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{n_m}{2} \times \frac{|f|}{f_m} & |f| \leq f_m \\ 0 & |f|>f_m \end{array}\right. \] 其中\(f_m=5kHz,n_m=2V^2/Hz\)。载波振幅100V，频率100MHz，\(k_f=500\pi\ rad/(s\cdot V)\)，最大频偏\(\Delta f_{max}=75kHz\)，噪声功率谱均匀，单边功率谱是\(p_n(f)=10^-3 W/Hz\)，求
- 调制信号带宽
- 解调器输入信噪功率比
- 系统的解调增益和输出信噪功率比
【解】
有卡森公式： \[ B=2(f_m+\Delta f)=2(5k+75k)=160 kHz \]
有：\(S_i=(A/\sqrt 2)^2=(100/\sqrt 2)^2=5000\)
\(N_i=p_n\cdot W=10^{-3}\times 160k=160\)
所以\(SNR_i=31.25\)
由于 \[ G=6\beta_{fm}^2(\beta_{fm}+1)\frac{P_m}{A_m^2} \] 其中\(\beta_{fm}=\Delta f/f_m=15\) \[ P_m=2\int_{0}^{f_m}p_m(f)\mathbf df=\frac 12 f_mn_m=5000 \]
\[ A_m=\frac{\Delta f}{k_f}=\frac{75k}{250}=300 \]
代入，有：\(G=1.2\cdot 10^{3}\)
所以 \[ SNR_o=SNR_i\times G=3.75\times 10^4 \]
模拟信号数字化
采样
采样就是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的采样值的过程。如果对一个频带有限的连续时间信号进行采样，当采样速率满足某些条件时，它的原信号就能由采样信号唯一地恢复出来，这是模拟信号数字化的理论依据。
低通采样定理
一个频带限制在\((0,f_H)\)范围内的连续时间信号\(m(t)\)，如果以\(T_s\leq 1/(2f_H)\)的时间间隔进行等间隔采样，则\(m(t)\)被所得到的采样序列完全确定。换句话说，在信号最高频分量的一个周期内应该至少采样两次。
以下是对这个结论的简单证明：
假设采样脉冲为： \[ \delta_{T_s}(t)=\sum_{-\infty}^\infty\delta(t-nT_s) \] 即一个周期为\(T_s\)的冲激串。那么有： \[ \mathscr F[\delta_{T_s}(t)]=\frac {2\pi}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_s)=\frac{2\pi}{T_s}\delta_{\omega_s}(\omega) \] 那么采样的过程是： \[ m_s(t)=m(t)\cdot \delta_{T_s}(t) \] 因为时域相乘就是频域卷积，所以： \[ M(\omega)=\frac 1{2\pi}M(\omega)\bigotimes \delta_{T_S}(\omega)=\frac 1 {T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty M(\omega-n\omega_s) \] 那么就相当于把无数个间隔为\(\omega_s\) 的 \(M(\omega)\) 叠加而成：
那么对\(T_s\)的限制条件就是显而易见的了。
带通采样
一个带通信号\(m(t)\),其频率限制在\(f_L\)与\(f_H\)之间，带宽为\(B=f_L-f_H,\)如果最小采样速率\(f=2f_H/m\),\(m\)是一个不超过\(f_H/B\)的最大整数，那么\(m(t)\)可完全由其采样值确定。
实际采样
前面两个理想采样用的采样函数都是冲激串，实际上当然不可能用冲激串，而是采用矩形串。
实际采样主要有两种。
其一是自然采样，意思是采样所得的每个“矩形”的顶都不是平顶，而是按照\(m(t)\)的形状变化的。自然采样的波形和频谱如下：
自然采样和理想（低通）采样的不同之处是：理想采样的频谱被常数\(1/T_s\)加权，因而信号带宽为无穷大；而自然采样频谱的包络按\(sinc\)函数随频率增高而下降，带宽与脉宽\(\tau\)有关。
其二是平顶采样，顾名思义和自然采样不同，这里的采样得到的每个“矩形”的顶都是平顶，如下图所示：
其频谱不再是原信号频谱直接搬移，而是在搬移的同时，出现了失真，此种失真称为孔径失真。
量化
在采样以后，虽然时间域上信号变成了离散的，但是从幅度上来说依然是连续的，也就是说幅度是多少都有可能，所以没办法之间数字化。为了数字化，需要对采样后的信号进行进一步的量化处理，也就是利用预先规定的有限个电平来表示模拟信号的采样值的过程。量化是从无穷多连续电平到有限个离散电平的不可逆映射过程，所以一定会产生失真。
一般来说，量化就是把\((x_k,x_{k+1}]\)范围内的电平映射为\(y_k\)的过程。其中\(x_k\)叫做分层电平，\(y_k\)叫做量化电平，\((x_k,x_{k+1}]\)叫做量化区间，一个量化区间对应一个量化电平。用\(y=Q(x)\)来表示采样电平\(x\)经量化的结果为\(y\)。
那么量化误差定义为： \[ q=x-Q(x) \] 因为\(x\)是随机变量，所以\(q\)也是随机变量。一般用均方误差（平均功率）来衡量量化误差的大小： \[ \sigma_q^2=E[x-Q(x)]^2=\int_{-\infty}^\infty [x-Q(x)]^2p_x(x)dx \] 即： \[ \sigma_q^2=\sum_{k=1}^L \int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-y_k\right)^2 p_x(x) d x \] 一般用量化信噪比来衡量量化器的性能，信噪比越大，性能越好： \[ SNR=S/\sigma_q^2 \]
均匀量化
把输入信号的取值域按等间隔分割的量化称为均匀量化。在均匀量化中，每个量化区间的量化电平的取值在各区间的中点。如果量化范围为\([-V,V]\)，量化层数为\(L\)，那么：
量化间隔为\(\Delta V=2V/L\)
分层电平为\(x_k=-V+(k-1)\Delta V\)
量化电平为\(y_k=-V+(k-1/2)\Delta V\)
如果忽略过载区，即假设输入信号是\([-V,V]\)中的均匀分布，那么量化噪声功率为： \[ \sigma_q^2=\frac{\Delta V^2}{12}=\frac{V^2}{3 L^2} \] 假设输入信号为正弦信号，幅度为\(A_m\leq V\)，那么有：
信号功率\(S=A_m^2/2\)
噪声功率\(\sigma_q^2=V^2/(3L^2)\)
信噪比 \[ S N R=\frac{S}{\sigma_q^2}=\frac{A_m^2 / 2}{V^2 /\left(3 L^2\right)}=\frac{3 A_m^2 L^2}{2 V^2} \]
进一步，如果定义归一化有效值为\(D=A_m/(\sqrt 2 V)\)，设量化间隔数\(L=2^n\)称为\(n\)比特量化，有：
信噪比 \[ S N R=\frac{S}{\sigma_q^2}=\frac{3 A_m^2 L^2}{2 V^2}=3 D^2 L^2=3 D^2 2^{2 n} \]
用分贝表示的信噪比 \[ SNR=10\lg 3+20\lg D+20\lg 2^n \]
非均匀量化
非均匀量化是一种在输入信号的动态范围内量化间隔不相等的量化方式。在信号取值小的区间，量化间隔小；在信号取值大的区间，量化间隔大。在改善小信号量化信噪比的同时，不影响大信号量化信噪比。相当于压缩信号的动态范围（容忍更大动态范围）
实现非均匀量化一般采取压缩法，即使用一个上凸函数对输入信号进行压缩，以期放大小信号，缩小大信号，然后再对变换后的信号进行均匀量化。
𝐿 ≫ 1（分层很密）时，每一量化级中的压缩特性曲线可以近似看做直线，有： \[ \sigma_q^2=\frac{1}{12} \int_{-V}^V\left[\Delta_k(x)\right]^2 p_x(x) d x \] 设压缩特性为\(y=f(x)\)，且压缩后的量化间隔为等间隔，即\(\Delta_z=2V/L\)，那么有： \[ \sigma_q^2=\frac{\Delta^2}{6} \int_0^V\left[f^{\prime}(x)\right]^{-2} p_x(x) d x \] 对于理想的对数量化器，即： \[ y=f(x)=\frac 1B \ln x \] 有量化信噪比为： \[ \frac{S}{\sigma_q^2}=\frac{12}{B^2 \Delta^2}=\frac{3 L^2}{B^2 V^2} \] 可见其量化信噪比是常数，和信号的分布、D（归一化有效值）等变量无关，是一种最平稳的状态。
但是实际上对数压缩无法实现，因为\(y\)随着\(x\)的减小而趋向于无穷大。在应用中，常用的量化有A律和\(\mu\)律量化两种，它们的区别是压扩函数不同。
A律的压扩函数为： \[ y= \begin{cases}\frac{A x}{1+\ln A} & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{A} \\ \frac{1+\ln A x}{1+\ln A} & \frac{1}{A} \leqslant x \leqslant 1\end{cases} \] 其中\(x,y\)都是归一化[6]电平值，在\([0,1]\)之间，国际标准中\(A=87.6\)。
\(\mu\)律的压扩函数为： \[ y=\frac{\ln (1+\mu x)}{\ln (1+\mu)} \quad 0 \leqslant x \leqslant 1 \] 其中\(\mu\)越大，压缩效果越明显，国际标准中\(\mu=255\)。
由公式： \[ \sigma_q^2=\frac{\Delta^2}{6} \int_0^V\left[f^{\prime}(x)\right]^{-2} p_x(x) d x \] 知，量化信噪比比均匀量化改造\([f'(x)]^2\)倍，具体地，对于A律，有： \[ \left.f^{\prime}(x)\right|_{x \rightarrow 0}=\frac{87.6}{1+\ln 87.6}=16 \] 改善\(20\lg 16=24\mathbf {dB}\)。对\(\mu\)律，有： \[ \left.f^{\prime}(x)\right|_{x \rightarrow 0}=\left.\frac{\mu}{\ln (1+\mu)}\right|_{\mu=255}=46 \] 改善\(20\lg 46=33.3\mathbf {dB}\)。
编码（脉冲编码调制）
PCM（脉冲编码调制）简称脉码调制，是一种用一组二进制数字代码（码字）来代替连续信号的采样值，从而实现数字通信的方式。首先，我们来明确几个基本概念，即码组、码字、码型。
对于\(L\)个量化电平的采样值，可以用\(N=\log _2 L\)位二进制的码组进行唯一表示。一个𝑁位二进制码组称为一个码字，一个码字对应一个量化电平。而码型指的是编码的规律，也就是把十进制数变成01序列的过程，常用的码型有自然码，折叠码，格雷码等。
自然码就是量化级序号十进制正整数的二进制表示，例如用四位码表示从低往高第六个量化级，就是0110
折叠码的第一位是符号位（也叫极性码），后面的位表示幅度绝对值的大小。从编码效果来看，对于正样值，自然码和折叠码相同；对于负样值，除了符号位以外，折叠码是自然码按位取反的结果。
对于非均匀量化，为了在编码时比较方便，需要对压缩函数进行折线近似。折线近似的基本思想就是在\(y\)坐标上，把纵轴等分成\(N\)份，然后把曲线分成（不超过）\(N\)个曲线段，把每个曲线段近似为折线，然后再进行。例如对于\(A\)律，有：
其中最靠近原点的第1、2段的斜率是一样的，所以他俩其实是一条线，这也是我前面说“不超过\(N\)个”的原因。这样一来，A律正负双向共有13段折线（本来16段，1、2、-1、-2合为1段），所以叫做“A律13折线近似”。
在对A律13折线进行编码时，采用八位二进制码，即\(256\)个量化级，正负样值各\(128\)个。于是需要把8个折线段中的每个再分为16份，按折叠码型，这八位安排如下：
| 极性码 | 段落码 | 段内码 |
|---|---|---|
| \(C_1\) | \(C_2C_3C_4\) | \(C_5C_6C_7C_8\) |
具体编码规则如下：
| 量化段序号 | 电平范围/\(\Delta\) | 段落码 | 段落起始电平 | 量化间隔\(\Delta_i/\Delta\) |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 1024~2048 | 111 | 1024 | 64 |
| 7 | 512~1024 | 110 | 512 | 32 |
| 6 | 256~512 | 101 | 256 | 16 |
| 5 | 128~256 | 100 | 128 | 8 |
| 4 | 64~128 | 011 | 64 | 4 |
| 3 | 32~64 | 010 | 32 | 2 |
| 2 | 16~32 | 001 | 16 | 1 |
| 1 | 0~16 | 000 | 0 | 1 |
注意：每个段落都不含其起始电平，例如电平64应该属于段落3而不是段落4。接下来举例说明：
【例】若13折线A律编码器的不过载量化范围为（−5𝑉, +5𝑉 ），输入抽样脉冲幅度为−1.6875𝑉。设量化器的最小量化间隔为1个单位，最大分层电平为2048个单位。求编码器的输出码组，并计算量化误差。
【解】
先把输入信号归一化 \[ [\frac {-1.6875}{5}\cdot 2048]=-691 \] 符号位：因为是负样值，所以是
0段落码：因为\(691\in (2^9,2^{10}]\)，所以是第七段，段落码为
110段内码： \[ [\frac {691-2^9}{32}]=5 \] 所以段内码为
0101所以编码结果是
01100101恢复出的电平为\(-[512+32(5+0.5)]=-688\)，量化误差为： \[ (|-691.2+688|)\cdot \frac{5}{2048}=0.0078V \]
PCM的抗噪声性能
在PCM系统中，噪声主要有两个来源，其一是量化过程引入的量化噪声，其二是二进制信道传输过程中产生的误码引入的误码失真噪声。
假设输入信号为 [−𝑉, +𝑉] 均匀分布的随机变量，\(𝐿 = 2^𝑁>>1\) 级均匀量化，二进制信道传输误码率为\(P_e<<1\)。那么信号平均功率为： \[ S=\frac {V^2} 3=\frac{(\Delta VL/2)^2}{3} \] 量化噪声功率： \[ \sigma_q^2=\frac{\Delta V^2}{12} \] 误码失真噪声功率和码型有关，以自然码为例，有： \[ \sigma_e^2=E\left\{n_e^2(t)\right\}=\sum_{i=1}^N P_e\left(2^{i-1} \Delta V\right)^2=P_e \Delta V^2 \frac{2^{2 N}-1}{3} \approx P_e \Delta V^2 \frac{2^{2 N}}{3} \] 所以总输出信噪比为： \[ S N R_o=\frac{S}{\sigma_q^2+\sigma_e^2}=\frac{S}{S / 2^{2 N}+4 P_e S}=\frac{2^{2 N}}{1+4 P_e 2^{2 N}} \]
【例（2022期末）】已知信号\(m(t)\)最高频率4kHz，幅度范围为\((-5.12,5.12)V\)，采取13折线A律编码进行数字化，求：
- 采样值为-1.7V时的输出码组、输出量化电平、量化误差
- 输出码组为
11011001时代表的量化电平值，写出与之对应的均匀量化11位码- 输出速率\(R_b\)
- 使用64QAM传输的最小带宽
【解】
先把输入信号归一化： \[ \left[\frac{-1.7}{5.12}\times 2048\right]=-680 \] 符号位：
0段落码：因为\(680\in (512,1024]\)，所以是第七段，即
110段内码： \[ \left[\frac{680-512}{32}\right]=5 \] 所以段内码为
0101所以整个码组为
01100101恢复出的电平为\(-[512+32(5+0.5)]=-688\)，恢复成原始电平就是\(1.72V\)，量化误差为\(0.02V\)
正数，段落码是第第六段（256~512），段内码为\(16\times 9.5=152\)，所以对应成归一化量化电平为408，对应原始电平1.02V，对应的11位均匀量化为 \[ (408)_{10}=(00110011000)_2 \]
\(R_b=8f_s=64kbps\)
有： \[ R_s=\frac{R_b}{\log_{2}64}=10666.67baud \] 所以带宽为\(10.67kHz\)
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