实变泛函·实变函数之章
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实变函数和泛函分析是一门广度极强的学科，融合了分析、代数、抽代、拓扑等数学各个方面的知识。在学习时要能建立起各个概念之间的联系。
点集
\(R^n\)中的线性运算、内积和范数
\(n\)维欧氏空间\(R^n\)
\(R^n\)指的是\(n\)维向量组成的集合： \[ R^n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_i\in R,i=1,2,\cdots n\} \] 在这个集合上定义加法和数乘： \[ \begin{aligned} &\forall x,y\in R^n,\lambda\in R\\ &x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots,x_n+y_n)\\ &\lambda x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots,\lambda x_n) \end{aligned} \] 其满足所谓的“线性运算八条性质”：对任意的\(x,y\in R^n;\lambda,\mu\in R\)
- \(x+y=y+x\)
- \(x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z)\)
- \(x+0=x\);
- \(x+(-x)=0\)
- \(1x=x\)
- \(\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y\)
- \((\lambda+\mu) x=\lambda x+\mu x\)
- \((\lambda \mu) x=\lambda(\mu x)\)
对于\(\forall x,y\in R^n\)，定义内积： \[ (x,y)=\sum_{i=1}^n x_iy_i \] 内积满足以下三条性质：对于任意的\(x,y,z\in R^n\)，任意的\(\lambda,\mu\in R\)，有：
- 正定性：\((x,x)\geq 0\)
- 对称性：\((x,y)=(y,x)\)
- 对第一变元的线性：
- \((x+y,z)=(x,z)+(y,z)\)
- \((\lambda x,y)=\lambda(x,y)\)
定义了内积的\(n\)维向量空间被称为“内积空间”，也叫“欧几里得空间”.
对于一般的内积空间\(X\)，总成立柯西-施瓦茨不等式： \[ |(x,y)|\leq ||x||\cdot||y|| \] 其中\(||x||=\sqrt{(x,x)}\)，称之为向量的范数。范数满足以下三条性质：
- 正定性：\(||x||\geq 0\)，取到\(0\)当且仅当\(x=0\)
- 齐次性：\(||\lambda x||=|\lambda|\cdot ||x||\)
- 三角不等式：\(||x+y||\leq||x||+||y||\)
其实，只要\(f(x)\)满足以上三个条件，那么它就可以被称作范数，范数不只有上面所提到的那一种定义。
对三角不等式的证明可以先对式子两边取平方，再运用柯西-施瓦茨不等式。
如果\(x,y\in R^n\)且\(x,y\neq 0\) ,则存在实数\(\theta\in[0,\pi]\)，满足： \[ \cos \theta=\frac{(x,y)}{||x||\cdot ||y||} \] 这个实数称为两个向量之间的夹角。
最后，我们定义两点间的距离：\(d(x,y)=||x-y||\)。距离的本质是范数，满足范数的性质。
\(R^n\)中点列的极限
设\(\{x_k\}\)是\(R^n\)中的点列，如果\(\forall \epsilon>0,\exists N,\forall k>N,||x_k-a||<\epsilon\)，称\(\{x_k\}\)收敛于\(a\)，记作： \[ \lim_{n\to \infty}x_k=a \] 点列的极限满足以下四条性质：
- 点列的极限如果存在，那么唯一
- 收敛点列必定有界
- \(\lim_{k\to \infty}(x_k+y_k)=a+b\)
- \(\forall \lambda \in R,\lim_{k\to \infty} (\lambda x_k)=\lambda a\)
点列收敛等价于点列的每个分量都收敛（即按分量收敛）。
\(R^n\)中点集的基本概念和性质
\(a\in R^n,r>0\)，则称集合\(\{x\in R^n:||x-a||<r\}\)称为以\(a\)为心，\(r\)为半径的“开球”或者“球形邻域”，记作\(B_r(a)\).
令\(\bar B_r(a)=\{x\in R^n:||x-a||\leq r\}\)，称作“闭球”
令\(B_r^o(a)=\{x\in R^n:0<||x-a||<r\}\)，称作“去心开球”
若\(E\subset R^n,\exists r>0,s.t. E\subset B_r(0)\)，称\(E\)是有界的。否则，称\(E\)是无界的。
点
如果\(a\in E,\exists r>0,s.t. B_r(a)\subset E\)，则\(a\)叫做\(E\)的内点，如果\(a\)是\(E^c\)(\(E\)的补集)的内点，那么\(a\)叫做\(E\)的外点。如果\(a\)对\(E\)来说既不是内点，也不是外点，那么\(a\)叫做\(E\)的边界点。
换句话说：以\(a\)为心的任意邻域内都存在属于\(E\)的点，同时也存在不属于\(E\)的点，那么\(a\)叫做\(E\)的边界点。
如果以\(a\)为心的任意球形邻域中都含有\(E\)的无限多个点，那么\(a\)叫做\(E\)的聚点，也叫极限点。聚点的定义可以简化，也就是说，只要以\(a\)为心的任意球形邻域中都含有\(E\)中不同于\(a\)的一个点，那么\(a\)就是\(E\)的聚点。很显然，这两种说法实际上是等价的。还有一种等价的说法：从\(E\)中选出互不相同的点组成点列\(\{x_k\}\)，如果\(\lim_{k\to \infty}x_k=a\)，那么\(a\)是\(E\)的聚点。\(E\)中不是聚点的点叫做孤立点。
关于各种点之间的关系，有如下的结论：
- 内点一定是聚点，外点一定不是聚点
- 聚点可以是内点，也可以是边界点，但不可能是外点
- 孤立点一定是边界点
- 边界点是聚点或孤立点
- 如果一个点既不是聚点，也不是边界点，那么一定是外点
- 内点必属于集合，外点必不属于集合，边界点不一定属于集合
我们会发现：聚点不一定在集合内，例子很简单：对于\(R^1,E=Q,e=\lim_{k\to \infty}(1+1/n)^n,e\notin E\)
设\(A\subset R^n,\forall x\in R^n,\exist r,s.t. \exist a\in A,a\in B_r(x)\)，那么称\(A\)在\(R^n\)中稠密。稠密等价于以下两个结论：
- 对\(\forall x\in R^n\)，总存在\(A\)中的点列收敛于\(x\)。
- \(R^n\)中的点要么是\(A\)中的点，要么是\(A\)的聚点。
开集
点集\(E\)的全体内点的集合叫做\(E\) 的内部，记作\(E^o\)。如果\(E=E^o\)，那么称\(E\)为开集。
几个经典的开集：空集、\(R^n\)、数轴上的开区间、\(\{(x,y)|y>0\}\)、开球
任意多个开集的并还是开集，有限个开集的交还是开集
闭集
如果\(E\subset R^n\)是开集，那么\(E^c\)叫做闭集。
几个经典的闭集：数轴上的闭区间、\(R^2\)的横轴和下半平面、有限个点的集合、开球的补
集合可以既不是开集也不是闭集。
任意个闭集的交还是闭集，有限个闭集的并还是闭集。
点集\(E\subset R^n\)的全体聚点的集合叫做\(E\)的导集，记作\(E'\)。如果\(\bar E=E\cup E'\)，那么\(\bar E\)叫做\(E\)的闭包。
如果\(E\)是闭集，那么它的闭包是它自己。
内部是含于一个集合的最大开集，闭包是包含一个集合的最小闭集。
\(R^n\)中的基本定理
我们在学实数的时候经常提“六大定理”，即：
- 确界存在定理
- 单调数列收敛定理
- 有界数列必有收敛子列
- 柯西收敛准则
- 闭区间套定理
- 有限覆盖定理
在\(R^n\)中，前两个定理不再成立，后面的继续成立。
\(R^n\)中的有界点列必有收敛子列，也就是：任何无穷点集都含有聚点
如果\(\{x_k\}\)是\(R^n\)中的点列，如果\(\forall \varepsilon>0,\exists N=N(\varepsilon)>0,s.t. \forall k,l>N,||x_k-x_l||<\varepsilon\)，称\(\{x_k\}\)是基本列。“是基本列”和“收敛”等价。
设\(\{E_k\}\)是一个闭集列，都不是空集，而且：
- 后一项是前一项的子列
- \(\lim _{k\to \infty} diam(E_k)=0\)
那么存在唯一的\(\xi \in \bigcap_{k=1}^{\infty} E_k\)，其中\(diam(A)=\sup_{\forall x,y\in A}||x-y||\)。
设\(E\in R^n,\{G_\alpha\}_{\alpha \in \Gamma}\)是\(R^n\)中的一个开集族，如果\(E\subset \bigcup G_\alpha\)，称\(\{G\}\)是\(E\)的一个开覆盖。\(R^n\)中的有界闭集的任意一个开覆盖都有有限子覆盖
距离
点\(x\)和集合\(B\)的距离为： \[ d(x,B)=\inf\{d(x,y):y\in B\} \] 意思就是点到集合中每个点的距离的下确界
两个集合之间的距离为： \[ d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\} \] 意思就是从集合里面任选两个点，它们之间的距离的下确界
有以下结论：
- 如果A是非空闭集，则\(\exists y\in A,s.t.d(x,y)=d(x,A)\)
- 如果AB是非空闭集，则\(\exists x\in A,y\in B,s.t. d(x,y)=d(A,B)\)
- \(F_1,F_2\)是不相交的非空闭集，则存在\(R^n\)上的连续函数，使得
- \(0\leq f(x)\leq 1\)
- \(f(x)=0,x\in F_1\)；\(f(x)=1,x\in F_2\)
康托尔（Cantor）三分集
把\([0,1]\)三等分，去掉中间的一部分，再把左右两个剩下的三等分，再各自去掉中间的一部分，重复无限次，剩下来的集合就是Cantor三分集（P）。
它：
- 是闭集，完备集
- 没有内点
- 是疏朗集，即\(\bar P\)(闭包)没有内点
- 基数是连续势
- 测度为零，外测度也为零
康托尔函数\(\theta(x)\)：把在构造康托尔集的过程中第\(n\)次去掉的\(2^{n-1}\)个开区间上依次取值为 \[ \frac {1}{2^n},\frac{3}{2^n},\cdots,\frac{2^n-1}{2^n} \] 规定\(\theta(0)=0,\theta(1)=1\)
康托尔函数是\([0,1]\)上的单调不减连续函数。
测度论
测度是“长度”、“面积”概念的扩展。
集合的测度\(m:E\to[0,+\infty]\)应当满足：
非负性
正则性：若\(I=(a,b)\)，则\(m(I)=b-a\)
可数可加性：如果集合\(E_1,E_2\cdots\)都有测度且两两不交，那么： \[ m\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)=\sum_{k=1}^\infty m(E_k) \]
这里主要讨论勒贝格测度。在定义测度时，先定义勒贝格外测度，然后在其基础上诱导出一个可测集合类，在其上的外测度就是一种期望的测度。
外测度
对于\(R^n\)的子集\(E\)，定义非负广义函数： \[ m^*(E)=\inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty |I_k|:I_1,I_2\cdots\text{是开矩体,且}E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\} \] 开矩体是\(n\)个开区间的直积，其体积为每个开区间的长度之积。
外测度有以下性质：
非负性
单调性：如果\(E_1\subset E_2\)，则\(m^*(E_1)\leq m^*(E_2)\)
次可数可加性：如果集合\(E_1,E_2\cdots\)都有测度且两两不交，那么： \[ m^*\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)\leq \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k) \]
平移不变性： \[ m^*(E+\{a\})=m^*(E) \] 其中\(E+\{a\}=\{x+a,x\in E\}\)
可测集
定义，如果\(E,T\in R^n\)： \[ m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c) \] 则称\(E\)是勒贝格可测集，简称为可测集。此时\(m^*(E)\)称为\(E\)的测度，记作\(m(E)\)。这个等式叫做卡特西奥多里条件。
这个条件可以等价于： \[ m^*(T)\geq m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c) \] 设\(R^n\)上的可测集所构成的集族称为M，则：
- 空集属于M
- 如果\(E\)可测，那么\(E^c\)可测
- 如果\(E_1,E_2\in M\)，则它们的并、交、差都是可测
- 可测集的有限并也可测，而且满足可列可加
区间可测，凡是开集或闭集都可测，外测度为零的集合可测且测度为零
零测集的子集、至多可数个零测集的并也是零测集。
不可测集
存在不可测集。
可测函数
可测函数的定义和性质
设\(f(x)\)是定义在可测集\(E\subset R^n\)上的广义实值函数，若\(\forall a\in R\)，\(E(f>a)\)（即\(\{x\in E:f(x)>a\}\)）都是可测集，则称\(f(x)\)为可测函数。
以下条件相互等价：
- \(f(x)\)是可测函数，即\(\forall a\in R,E(f> a)\)可测
- \(\forall a\in R,E(f\geq a)\)可测
- \(\forall a\in R,E(f< a)\)可测
- \(\forall a\in R,E(f\leq a)\)可测
如果\(f(x)\)在可测集\(E\)上是可测函数，那么在\(E\)的每个可测子集上也是可测函数。
如果\(E=\bigcup_{k=1}^\infty E_k\)，其中每一个\(E_k\)都是可测集而且\(f(x)\)在其上可测，那么\(f(x)\)在\(E\)上可测。
可测函数类关于确界、上下极限封闭。即：如果\(\{f_k\}\)都是可测集\(E\)上的函数，那么\(\sup_k f_k(x),\inf_k f_k(x),\overline{\lim}_{k\to \infty}f_k(x),\underline{\lim}_{k\to \infty}f_k(x)\)都可测。
可测函数类关于加、减、乘、除、数乘、绝对值封闭。
如果\(P(x)\)是一个和集合\(E\)中元素\(x\)有关的命题，如果存在一个\(E\)的零测子集\(M\)，使得\(P(x)\)在\(E/M\)上恒成立，称\(P(x)\)在\(E\)上几乎处处成立，记作\(a.e.\)
如果\(f(x),g(x)\)都是\(E\)上的广义实值函数，且\(f(x)=g(x)\ a.e. x\in E\)，那么\(f(x)\)可测是\(g(x)\)可测的充要条件。
下面定义三种函数：
设\(X=R\)的一个子集\(E\)，称： \[ \chi_E(x)=\begin{cases} 1 & x\in E\\ 0 & x\in E^c \end{cases} \] 为\(E\)上的特征函数。如果\(E\)可测，那么它的特征函数可测。
如果\(f(x)\)的定义域\(E\)可以分为有限个不相交的集合\(E_k\)，且\(f(x)\)在每个\(E_k\)上取常值\(c_k\)，那么称\(f(x)\)是\(E\)上的简单函数。（简单理解：取有限个实数）
如果在简单函数的定义的基础上，每个\(E_k\)都是矩体，称\(f(x)\)为阶梯函数。
可测函数和简单函数的关系(简单函数逼近定理)
如果\(f(x)\)是可测集\(E\subset R\)上的非负可测函数，当且仅当存在非负可测渐升简单函数列\(\{\phi_k(x)\}\)，使得： \[ \lim_{k\to \infty}\phi_k(x)=f(x) \] 如果\(f(x)\)在\(E\)上有界，那么上述收敛是一致的。
事实上，作简单函数列\(\phi_k(x)\)，使得： \[ \phi_k(x)=k\chi_{F_k}(x)+\sum_{i=1}^{k2^k}\frac{i-1}{2^k}\chi_{E_{ki}}(x) \] 其中 \[ E_{ki}=E\left(\frac{i-1}{2^k}\leq f<\frac i{2^k}\right),F_k=E(f\geq k) \] 即满足上述定理的要求。
如果\(f(x)\)是可测集\(E\)上的可测函数，当且仅当存在可测的简单函数列\(\{f_k(x)\}\)，满足：
- \(|f_k(x)|\leq|f(x)|\)
- \(\lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x)\)
如果\(f(x)\)在\(E\)上有界，那么上述收敛是一致的。
在证明时，可以把\(f(x)\)分解成正负部之差，利用前面关于非负函数的定理，令 \[ f_k(x)=\phi^+_k(x)-\phi^-_k(x) \]
可测函数的收敛
设\(f(x),f_k(x)\)都是定义在\(E\)上的可测函数，有：
处处收敛：\(\forall \epsilon>0,\forall x\in E,\exists K=K(x,\epsilon)\)当\(k>K\)时，有：\(|f_k(x)-f(x)|<\epsilon\)，记作 \[ \lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x) \]
几乎处处收敛：存在一个零测集，使得\(f_k(x)\)在\(E\)中除了这个零测集以外的点上收敛于\(f(x)\)
一致收敛：\(\forall \epsilon>0,\forall x\in E,\exists K=K(\epsilon)\)当\(k>K\)时，有：\(|f_k(x)-f(x)|<\epsilon\)。一致收敛等价于： \[ \lim_{k\to \infty}\sup_{x\in E}|f_k(x)-f(x)|=0 \]
有Egoroff（叶洛果夫）定理：设\(m(E)< \infty\)，如果\(\{f_k\}\)在\(E\)上几乎处处收敛，那么对于任意的\(\delta > 0\)，有\(E\)的可测子集\(E_\delta,m(E_\delta)<\delta\)，使得\(\{f_k\}\)在\(E/E_\delta\)上一致收敛。也就是说，几乎处处收敛的函数列是“近一致收敛”的。
例如，对于函数列\(\{f_k=x^k\}\)，\(E=[0,1]\)，其处处收敛于 \[ f(x)=\begin{cases} 0,&x\in[0,1)\\ 1,&x=1 \end{cases} \] 因 \[ \beta_k=\sup_{x\in E}|f_k-f|=1 \] 不趋向于\(0\)，所以它不是一致收敛的。然而只要去掉任意小的区域，把\(E\)变成\([0,1-\delta]\)，那么就一致收敛了。
其实还有比几乎处处收敛更弱的收敛，叫做依测度收敛。如果\(\{f_k\},f\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的函数，如果对任意\(\varepsilon>0\)，有： \[ \lim _{k \rightarrow \infty} m\left(\left\{x \in E:\left|f_k(x)-f(x)\right|>\varepsilon\right\}\right)=0 \] 即：\(f_k\)与\(f\)的差值比\(\varepsilon\)大的集合的测度趋向于0，那么说\(\{f_k\}\)依测度收敛于\(f\)。
几乎处处收敛比依测度收敛更强，是因为几乎处处有限可以推出依测度收敛，反之不然。
如果函数列依测度收敛，那么存在函数列的子列\(\{f_{k_i}\}\)几乎处处收敛，这叫做Riesz定理。
如果\(f\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的函数，\(\forall \delta>0,\exists F,m(E/F)<\delta\)，使得\(f(x)\)在闭集\(F\)上连续，这叫做鲁津定理。
有关可测函数的常见结论和各种收敛的关系总结如下：
- 可测函数与零测集无关.
- 可测函数是简单函数列处处收敛的极限.(当可测函数有界时, 可做到一致收敛)
- 可测函数关于一些运算的封闭性.
- 可测集 \(E\) 上的连续函数是可测的.
- 可测集 \(E\) 上的简单函数是可测的.
- \(R\) 中可测集 \(E\) 上的单调函数是可测的.
勒贝格积分
首先我们从简单函数出发：假设\(\varphi(x)\)是\(E\subset R\)上的非负简单函数，在\(E_i\)上取值\(c_i\)，且\(E=\bigcup E_i,E_i\cap E_j=\emptyset\)。也就是说： \[ \varphi(x)=\sum_{i=1}^p c_i\chi_{E_i}(x) \] 那么定义\(\varphi(x)\)在\(E\)上的勒贝格积分（下简称为L积分）为： \[ \int _E\varphi(x)dx=\sum_{i=1}^p c_im(E_i) \] 根据简单函数逼近定理，我们可以把这个定义扩展到非负可测函数上：如果\(f(x)\)是\(E\)上的非负可测函数，那么定义\(f(x)\)的L积分： \[ \int_E f(x)dx=\sup_{\varphi(x)\leq f(x),x\in E}\left\{ \int_E \varphi(x)dx\right\} \] 其中\(\varphi(x)\)是\(E\)上的非负可测简单函数。如果有： \[ \int_E f(x)dx<\infty \] 就称\(f(x)\)是\(E\)上可积的。
进一步，因为每个可测函数都可以分解成两个非负可测函数的差（即正部和负部），有： \[ f(x)=f^+(x)-f^-(x) \] 定义可测函数上的L积分： \[ \int _Ef(x)dx=\int_Ef^+(x)dx-\int_E f^-(x)dx \]
L积分的性质
L积分的条件
以下，记\(L(E)\)为在\(E\)上L可积的函数构成的集合。
- 【必要条件】：\(f(x)\in L(E)\to f(x)\)在\(E\)上几乎处处有界
- 【充分条件】：\(f(x)\)是\(E\)上的有界可测函数，\(m(E)<+\infty\)，则\(f(x)\in L(E)\)
- 【充分条件】：\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数，\(g(x)\in L(E),|f(x)|<g(x)\)，则\(f(x)\in L(E)\)
L积分的基本性质
线性，保序性
略，和黎曼积分（以下简称R积分）相同
有限可加性
如果\(f(x)\in L(E)\)，那么\(f(x)\)在\(E\)的子集上也L可积。
如果\(E=A\cup B,A\cap B=\emptyset,AB\)可测，那么 \[ \int_E f(x)dx=\int_Af(x)dx+\int_Bf(x)dx \]
集合意义
如果\(f(x)\)是\(E\subset R^n\)上的非负实值函数，称： \[ \underline{G}(f)=\underline{G}_E(f)=\left\{(x, y) \in R^{n+1}: x \in E, 0 \leq y \leq f(x)\right\} \] 为\(f(x)\)在\(E\)上的下方图形，如果\(f(x)\)在\(E\)上可测，那么他的下方图形在\(R^{n+1}\)上也可测，有： \[ m(\underline{G}(f))=\int_E f(x) d x \] 如果\(E\)可测，则\(G(f)\)在\(R^{n+1}\)上可测，\(f(x)\)也 可测，且也有上面的结论
L积分的特殊性质
零测集上任何函数L积分为零，更进一步，如果两个函数只在一个零测集上有区别，那么这两个函数的L积分相等
函数\(f(x)\)L可积和其绝对值\(|f(x)|\)L可积等价，且积分的绝对值不大于绝对值的积分
绝对连续性：如果\(f(x)\in L(E)\)，则\(\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,s.t. \forall e\in E,m(e)<\delta\)，有： \[ \left|\int_e f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_e|f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon \]
如果一个函数R可积，那么它L可积，且两个积分的值相等。
这说明，R积分的有关问题，可以转换为L积分，再利用马上就要说明的L积分的优良性质完成 。
L积分的优良性质
【勒贝格收敛控制定理】如果\(\{f_k(x)\}\)是\(E\in R^n\)上的可测函数列，且：
- \(\lim _{k\to \infty}f_k(x)=f(x)\)
- \(\exists F(x)\in L(E),\forall k,|f_k(x)|\leq F(x)\ a.e.x\in E\)
那么，\(f_k(x),f(x)\in L(E)\)，且积分和极限可以交换次序，有： \[ \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) \mathrm{d} x=\int_E f(x) \mathrm{d} x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x) \mathrm{d} x . \]
相比之下，黎曼积分需要函数列一致收敛，才能交换顺序。一致收敛是一个非常强的条件。
推论：如果\(\{f_k(x)\}\)是\(E\in R^n\)上的可测函数列，且：
- \(\lim _{k\to \infty}f_k(x)=f(x)\)
- \(\exists M>0,|f_k(x)|\leq M,a.e. x\in E\)
- \(m(E)<\infty\)
那么，\(f_k(x),f(x)\in L(E)\)，且积分和极限可以交换次序，有： \[ \lim _{k \rightarrow \infty} \int_E f_k(x) \mathrm{d} x=\int_E f(x) \mathrm{d} x=\int_E \lim _{k \rightarrow \infty} f_k(x) \mathrm{d} x . \] 推论：设\(u_i(x)\in L(E)\)，且有： \[ \sum_{i=1}^{\infty} \int_E\left|u_i(x)\right| d x<+\infty \] 则：
\(\sum_{i=1}^n u_i(x)\)几乎处处收敛
其和函数\(f(x)\in L(E)\)，且 \[ \int_E f(x) \mathrm{d} x=\int_E\left[\sum_{i=1}^{\infty} u_i(x)\right] \mathrm{d} x = \sum_{i=1}^{\infty} \int_E u_i(x) d x \]
【例】求 \[ \lim _{n \rightarrow \infty}(R) \int_0^1 \frac{n x}{1+n^2 x^2} \sin n x d x \]
【解】因为原函数列不一致收敛，因此需要用L积分。
验证勒贝格收敛控制定理： \[ \left|f_n(x)\right| \leq\left|\frac{n x}{1+n^2 x^2}\right| \leq \frac{n x}{2 n x}=\frac{1}{2} \stackrel{\Delta}{=} F(x), x \in[0,1] \]
则有： \[ \begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty}(R) \int_0^1 \frac{n x}{1+n^2 x^2} \sin n x d x \\ & =\lim _{n \rightarrow \infty}(L) \int_{[0,1]} \frac{n x}{1+n^2 x^2} \sin n x d x \\ & =(L) \int_{[0,1]}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n x}{1+n^2 x^2} \sin n x\right) d x \\ & =(L) \int_{[0,1]} 0 \mathrm{~d} x=0 . \end{aligned} \]
有时候，问题中并不显式地出现极限、求和符号，但是可以通过把被积分展开成级数的和，再求解：
【例】 \[ \int_{0}^1 \frac{\ln(1-x)}{x}dx \] 【解】
首先展开成级数： \[ \frac{\ln (1-x)}{x}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}, x \in[0,1) \]
我们发现这不是一致收敛的，但是没关系，我们有勒贝格积分： \[ \begin{aligned} &\ (R) \int_0^1 \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x \\ & =(L) \int_{[0,1]} \frac{\ln (1-x)}{x} \mathrm{~d} x \\ & =(L) \int_{[0,1]}\left(-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}\right) \mathrm{d} x\\ & =-\sum_{n=1}^{\infty}(L) \int_{[0,1]} \frac{x^{n-1}}{n} d x \\ & =-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\ & =-\frac{\pi^2}{6} \end{aligned} \]